Otimização de Portfólio Industrial: Estudo de Caso sob a Teoria de Markowitz

Lídia Martins Trindade; Pedro Paulo Santos Cavalcante

DOI: 10.22167/2675-6528-202603152

Artigo derivado de Trabalho de Conclusão de Curso (TCC), com conteúdo baseado no trabalho original do aluno e adaptado ao formato editorial da Revista E&S com apoio da ferramenta ResumeAI, solução de inteligência artificial desenvolvida pelo Instituto Pecege para síntese e organização textual.

Resumo

Uma empresa industrial em Botucatu apresentava ineficiência na alocação de recursos em dezembro de 2024, com R$ 3,16 milhões concentrados em títulos de renda fixa passiva. O estudo objetivou otimizar o capital da organização, propondo e validando uma nova estrutura de alocação baseada na Teoria de Markowitz para um perfil de risco moderado, após a realização de resgates estratégicos. Utilizou-se uma metodologia quantitativa de estudo de caso, fundamentada em dados documentais. O processo empregou matriz de covariância e cálculos de desvio padrão conjunto para a otimização do portfólio. A carteira final distribuiu o capital entre cinco categorias de investimentos, incluindo fundos imobiliários e papéis indexados à inflação. A volatilidade global reduziu para 4,65%, e o retorno anual atingiu 10,28%. O Índice de Sharpe de 0,92 confirmou a melhora técnica da alocação, superando o desempenho do modelo concentrado original. Simulações para sessenta meses indicaram margem de segurança para o negócio. O patrimônio acumulado demonstrou capacidade para suportar planos de expansão na América Latina. A gestão financeira, por meio do rigor estatístico, transformou o capital de giro em ferramenta estratégica, protegendo o valor e evitando crises sistêmicas.

Palavras-chave: Capital de Giro; Gestão Financeira; Otimização de Portfólio; Teoria de Markowitz.

1. Introdução

A administração financeira contemporânea em setores industriais exige uma transição da gestão passiva para modelos matemáticos que otimizem a relação entre rentabilidade e exposição ao mercado. A busca pela eficiência alocativa demanda a aplicação de métricas que considerem a correlação entre ativos para a mitigação de riscos sistêmicos e não sistêmicos (Nakamura, 2000; Rotela Junior et al., 2014).

Nesse contexto, a Teoria Moderna do Portfólio (TMP), introduzida por Harry Markowitz, fundamenta-se na premissa de que o investidor busca maximizar o retorno esperado para um dado nível de variância. Essa abordagem estatística revolucionou as finanças ao demonstrar que a diversificação inteligente reduz o risco global sem necessariamente comprometer os ganhos patrimoniais.

A TMP permite que tesourarias corporativas alcancem a fronteira de eficiência, um conceito crucial para a gestão de investimentos (Costa, 2024; Zanini & Figueiredo, 2005). No entanto, a aplicação de modelos quantitativos em empresas de médio porte no Brasil enfrenta desafios práticos.

Entre esses desafios, destaca-se a escolha adequada de métricas de risco que se alinhem ao perfil de utilidade do gestor. Embora o desvio padrão permaneça como a medida clássica, novas propostas baseadas na percepção de perda real têm ganhado espaço nas discussões acadêmicas e operacionais para a calibração de portfólios (Araújo & Montini, 2015; Leone et al., 2007).

Estudos empíricos realizados no mercado brasileiro demonstram que carteiras teóricas nem sempre apresentam eficiência plena em curto prazo, exigindo revisões periódicas das correlações. A utilização de ferramentas acessíveis para a implementação desses cálculos matemáticos democratiza o uso da ciência financeira.

Isso permite que decisões estratégicas abandonem o subjetivismo em favor do rigor técnico (Nakamura, 2000; Rotela Junior et al., 2014). A integração de diferentes categorias de investimentos, como fundos imobiliários e ativos indexados à inflação, proporciona uma camada de proteção adicional para o capital de giro corporativo.

A análise de métricas de risco mais sensíveis ao lado inferior da distribuição de retornos auxilia na construção de portfólios mais resilientes em períodos de contração econômica (Araújo & Montini, 2015; Costa, 2024).

O fenômeno observado revela que a manutenção de grandes saldos em contas de baixa remuneração gera um custo de oportunidade oculto que pode comprometer a competitividade de longo prazo. A resistência à volatilidade de mercado, muitas vezes, mascara a perda de poder de compra, tornando necessária a intervenção de modelos de otimização para equilibrar a liquidez operacional com a rentabilidade financeira (Costa, 2024; Araújo & Montini, 2015).

Diante da necessidade de reestruturação patrimonial após resgates vultosos para fins operacionais, uma empresa industrial em Botucatu deparou-se com a urgência de remodelar seu portfólio. A organização apresentava ineficiência na alocação de recursos em dezembro de 2024, com um montante de R$ 3,16 milhões concentrado em títulos de renda fixa passiva.

A questão central que emerge deste cenário é: de que maneira a aplicação das equações de Markowitz pode otimizar a carteira de investimentos de uma empresa industrial de Botucatu, garantindo retorno real e resiliência financeira para os próximos cinco anos?

A justificativa deste estudo reside na importância de fornecer inteligência financeira para a gestão do capital de giro em setores produtivos, transformando excedentes de caixa em motores de expansão regional. A validação técnica desta transição oferece segurança analítica aos executivos, demonstrando que a ciência de dados financeiros é capaz de proteger o patrimônio industrial contra instabilidades macroeconômicas (Costa, 2024; Leone et al., 2007; Zanini & Figueiredo, 2005). Assim, o objetivo geral deste trabalho é propor e validar uma nova estrutura de alocação de capital para uma empresa industrial baseada na Teoria de Markowitz, visando a otimização da relação risco-retorno para um perfil moderado.

2. Material e Métodos

O presente estudo caracterizou-se como uma pesquisa aplicada, de natureza quantitativa, estruturada sob a forma de estudo de caso participativo. A abordagem quantitativa justificou-se pela utilização de modelagem matemático-estatística, empregada para analisar a relação risco-retorno na otimização de uma carteira de investimentos. Este delineamento permitiu a investigação aprofundada de um cenário real de gestão financeira.

O objeto de estudo consistiu em uma indústria de médio porte, fundada em 1997, com unidade fabril localizada no município de Botucatu, São Paulo. A coleta de dados primários compreendeu o período de transição de capital entre dezembro de 2024 e janeiro de 2025, momento em que a organização reestruturou seu portfólio de investimentos.

O levantamento de dados foi realizado a partir de informações documentais da companhia. Incluíram-se balancetes de aplicações financeiras, relatórios de custódia e extratos bancários. Esses documentos permitiram a análise detalhada da composição do patrimônio investido e dos fluxos financeiros associados, fornecendo a base empírica para a modelagem.

Para o processamento dos dados e a execução dos cálculos quantitativos, utilizou-se o software Microsoft Excel. A escolha dessa ferramenta deveu-se à sua ampla aplicabilidade no contexto empresarial e à capacidade de operacionalizar as funções estatísticas e matriciais necessárias para a aplicação do modelo proposto.

O método adotado baseou-se na aplicação dos princípios da Teoria Moderna do Portfólio, desenvolvida por Harry Markowitz. O foco principal foi a otimização da relação risco-retorno por meio da diversificação de ativos, buscando a fronteira de eficiência para o capital da empresa.

Inicialmente, calcularam-se os retornos esperados de cada ativo, bem como suas respectivas medidas de risco, representadas pelo desvio padrão. Em seguida, procedeu-se à análise conjunta dos ativos por meio da construção da matriz de covariância, permitindo avaliar como os retornos variavam em relação uns aos outros.

Complementarmente, empregou-se a matriz de correlação como ferramenta estatística essencial para aprofundar a análise das relações entre os ativos. A matriz de correlação possibilitou mensurar o grau de associação linear entre os retornos, permitindo identificar combinações mais eficientes do ponto de vista da diversificação.

Ativos com baixa ou negativa correlação foram considerados para reduzir o risco total da carteira, aspecto fundamental para a construção de portfólios otimizados. Adicionalmente, realizaram-se cálculos de desvio padrão conjunto, com o objetivo de mensurar o risco agregado da carteira.

A estruturação da nova carteira envolveu a distribuição do capital em cinco classes de ativos, definidas com base em critérios de diversificação e aderência ao perfil de risco moderado da organização. Para isso, estabeleceram-se limites de alocação por classe, buscando refletir restrições operacionais e práticas de mercado.

A rentabilidade bruta mensal foi apurada pela divisão do rendimento total pelo capital principal. O retorno anual esperado do portfólio diversificado considerou o peso alocativo e o retorno individual esperado de cada componente, somando os produtos desses valores.

A mensuração do risco, ou volatilidade global, fundamentou-se na raiz quadrada da variância ponderada. O cálculo englobou a matriz de covariância entre os pares de ativos, garantindo a redução precisa da volatilidade através da diversificação, considerando os cinco ativos do portfólio.

Para atestar a eficiência da alocação frente à taxa livre de risco do mercado, empregou-se o Índice de Sharpe. Este indicador avaliou a relação direta de risco-retorno, comparando o retorno excedente do portfólio com sua volatilidade.

A análise da covariância constituiu o mecanismo central da Teoria Moderna do Portfólio, permitindo compreender como a interação entre ativos reduz o risco total. Utilizou-se uma série histórica de 36 meses para garantir a robustez dos dados amostrais no cálculo da covariância entre os ativos.

Por fim, o método incluiu a projeção de crescimento patrimonial para um horizonte de 60 meses, visando prover segurança estatística para os planos de expansão da companhia. Utilizou-se a modelagem de juros compostos para simular o crescimento patrimonial em cenários esperado, pessimista e otimista.

Para garantir a integridade do planejamento estratégico, as simulações de longo prazo foram submetidas a testes de estresse. Consideraram-se três cenários macroeconômicos distintos: esperado, pessimista e otimista. Essa análise permitiu identificar o ponto de equilíbrio na fronteira de eficiência operacional.

3. Resultados e Discussão

A análise dos resultados e a discussão subsequente revelaram a transição de uma gestão financeira passiva para um modelo de otimização quantitativa, fundamentado na Teoria Moderna do Portfólio. Inicialmente, o diagnóstico da carteira de investimentos da empresa industrial em Botucatu, realizado em dezembro de 2024, apontou uma alocação de capital excessivamente conservadora e vulnerável. O patrimônio totalizava R$ 3.094.617,95, concentrado em ativos de renda fixa passiva, que, embora gerassem rendimentos brutos de R$ 84.868,06, não consideravam a fronteira de eficiência alocativa. Essa configuração expunha o capital de giro a um risco sistêmico elevado, limitando o crescimento real frente à inflação, conforme apontado por Costa (2024) e Nakamura (2000).

Os demonstrativos originais indicaram que os recursos estavam restritos a fundos de crédito e certificados de depósitos bancários, com R$ 1.300.000,00 aplicados em uma corretora específica. Essa concentração em poucos emissores bancários resultava em ineficiência estrutural, pois a rentabilidade global estava atrelada exclusivamente ao desempenho das taxas DI, sem capturar prêmios de risco de outras classes de ativos. Tal dependência, segundo Rotela Junior et al. (2014) e Zanini e Figueiredo (2005), impede a diversificação e a otimização do portfólio.

A transição operacional foi marcada por resgates estratégicos para atender a compromissos de curto prazo e planos de expansão. Em novembro de 2024, uma retirada de R$ 3.001,07 foi efetuada. Em janeiro de 2025, novas retiradas totalizaram R$ 1.150.000,00, incluindo R$ 500.000,00 e R$ 100.000,00 de um banco e R$ 550.000,00 de outro. O valor total resgatado foi de R$ 1.153.001,07 líquidos, considerando os impostos de renda incidentes.

Após a conclusão desses resgates, o saldo base da organização ajustou-se para R$ 1.976.530,06 no início de janeiro de 2025. Este montante remanescente tornou-se o lastro fundamental para a aplicação da Teoria Moderna do Portfólio, visando superar a ineficiência histórica de rentabilidade. O valor líquido em dezembro de 2024, antes das movimentações de janeiro, era de R$ 3.165.862,92. A redução do capital investido exigiu um rebalanceamento imediato das posições remanescentes.

A situação patrimonial em janeiro de 2025, após os ajustes, consolidou-se em produtos bancários tradicionais, com um rendimento mensal acumulado de R$ 50.920,51. O valor líquido de fechamento do ciclo atingiu R$ 2.027.450,57. A composição dos investimentos incluía R$ 264.976,05 em um fundo de crédito, R$ 411.554,01 em um fundo de renda fixa DI e R$ 1.300.000,00 em um CDB. A rentabilidade bruta mensal (Rm) apurada foi de 2,58%, calculada sobre o capital principal de R$ 1.976.530,06.

Historicamente, a empresa baseava sua gestão na percepção de baixo risco da renda fixa concentrada. Contudo, estudos empíricos, como os de Nakamura (2000) e Costa (2024), demonstram que ativos isolados possuem variâncias que podem ser diluídas por meio de correlações negativas em portfólios diversificados. A permanência em ativos de um único indexador impede que a corporação se beneficie da diversificação, que é um mecanismo clássico para a redução de risco sem perda de retorno.

Estruturação do modelo de otimização

A transição da carteira passiva para um modelo otimizado exigiu a fragmentação do patrimônio de R$ 1.976.530,06 em cinco categorias estratégicas, com o objetivo de diluir o risco de concentração bancária. O modelo proposto fundamenta-se na diversificação alocativa, combinando ativos com diferentes comportamentos macroeconômicos para reduzir a volatilidade global. A literatura financeira contemporânea, conforme Araújo e Montini (2015) e Nakamura (2000), enfatiza que a eficiência de um portfólio industrial depende da inclusão de instrumentos que protejam o capital contra a inflação, mantendo a liquidez operacional necessária para a expansão.

A distribuição percentual do capital foi calculada para um perfil de risco moderado, equilibrando rentabilidade e segurança. O patrimônio foi dividido em Renda Fixa Pós-Fixada/Liquidez (25%, equivalente a R$ 494.132,52), Renda Fixa IPCA+ (25%, equivalente a R$ 494.132,52), Fundos Multimercado (15%, equivalente a R$ 296.479,51), ETFs Brasil e EUA (20%, equivalente a R$ 395.306,01) e Fundos Imobiliários (15%, equivalente a R$ 296.479,51). Essa arquitetura permite à organização capturar prêmios de risco em mercados de ações e imóveis, sem abrir mão da estabilidade da renda fixa (Costa, 2024; Rotela Junior et al., 2014).

O aporte em ativos indexados ao IPCA atua como proteção real para o capital de giro, enquanto a parcela em Exchange Traded Funds (ETFs) internacionais introduz a descorrelação geográfica necessária em mercados emergentes. A estruturação quantitativa busca o ponto ótimo na fronteira de eficiência, onde a covariância negativa entre as classes de ativos contribui para estabilizar os retornos mensais. Estudos de Leone et al. (2007) e Zanini e Figueiredo (2005) indicam que a diversificação internacional e setorial é um mecanismo eficaz para a preservação do valor de utilidade do investidor corporativo.

A aplicação prática do modelo de Markowitz transformou dados subjetivos em decisões matemáticas precisas. O uso de fundos multimercados, por exemplo, oferece à tesouraria uma gestão ativa que se adapta a diferentes ciclos econômicos. A manutenção de 5% em liquidez imediata assegura o pagamento de obrigações sem resgates intempestivos em ativos voláteis. A racionalidade do modelo permite que a gerência industrial foque na produção, delegando a segurança do capital à lógica da variância mínima (Rotela Junior et al., 2014; Costa, 2024).

Retorno esperado da carteira

A determinação do retorno esperado constituiu um pilar fundamental da análise quantitativa sob a ótica de Markowitz. Para a indústria em estudo, o cálculo não se limitou a uma projeção linear, mas sim a uma média ponderada que refletiu a importância relativa de cada ativo na composição patrimonial. O rigor matemático aplicado substituiu a intuição por métricas de desempenho consolidadas, permitindo que a tesouraria corporativa visualizasse a rentabilidade provável do portfólio de forma robusta e transparente (Costa, 2024; Zanini & Figueiredo, 2005).

O modelo estatístico adotou as taxas médias de retorno histórico para cada uma das cinco classes alocadas. Através do software Microsoft Excel, processou-se as séries temporais para extrair os componentes de ganho real e nominal. A literatura especializada reforça que a precisão desta etapa é vital para que a empresa se mantenha na fronteira de eficiência, garantindo que o prêmio de risco seja condizente com os objetivos estratégicos da organização (Rotela Junior et al., 2014; Nakamura, 2000).

O retorno anual esperado do portfólio diversificado (E(Rp)) foi calculado pela soma do produto entre o peso alocativo e o retorno individual esperado de cada instrumento. O cálculo resultou em 10,48% ao ano. Contudo, o modelo conservador, ajustado para choques de volatilidade, calibrou a expectativa final para 10,28%. Este ajuste preventivo é fundamental para manter a utilidade do investidor industrial frente a possíveis contrações de mercado, pois estudos empíricos demonstram que a superestimativa de retornos pode comprometer a solvência de curto prazo (Leone et al., 2007; Araújo & Montini, 2015).

A integração do projeto John Deere como componente de liquidez e retorno fixo estabilizou a média global, enquanto as parcelas em ações e Fundos Imobiliários (FIIs) forneceram o potencial de valorização necessário para a expansão latino-americana. A lógica matemática de Markowitz provou ser superior à gestão passiva, transformando o balanço patrimonial de janeiro de 2025 em um motor dinâmico de rentabilidade alinhado à eficiência teórica (Nakamura, 2000; Araújo & Montini, 2015).

Volatilidade e risco

A mensuração do risco global constitui o núcleo da eficiência alocativa proposta pela Teoria Moderna do Portfólio. Para a indústria em análise, a volatilidade não é compreendida apenas como a dispersão isolada de cada ativo, mas como o resultado da interação estatística entre as classes escolhidas. O rigor no cálculo da variância conjunta permite identificar como a descorrelação entre ativos de renda fixa e variável atua na proteção do capital de giro operacional, mitigando perdas sistêmicas (Araújo & Montini, 2015; Leone et al., 2007).

O modelo estatístico utiliza a covariância como mecanismo de amortecimento de oscilações negativas. Ao combinar instrumentos que reagem de formas opostas a estímulos macroeconômicos, a tesouraria corporativa consegue reduzir o desvio padrão total sem sacrificar o retorno esperado. Esta etapa é fundamental para empresas com perfil moderado, pois assegura que a utilidade do investidor seja preservada mesmo em cenários de alta instabilidade política ou econômica (Zanini & Figueiredo, 2005; Rotela Junior et al., 2014).

A variância da carteira foi calculada considerando os cinco ativos que compõem o portfólio: Renda Fixa Pós-Fixada/Caixa, Renda Fixa IPCA+, Multimercado, ETFs e FIIs. A decomposição da variância da carteira mensal, considerando os pesos e covariâncias de cada componente, resultou em uma variância total de 1,8039229 %². A volatilidade final anual, calculada a partir da raiz quadrada da variância mensal anualizada, foi de 4,65% para o portfólio consolidado com cinco ativos.

A volatilidade final de 4,65% demonstra a robustez da nova estrutura frente ao modelo concentrado anterior. O processamento matricial no Microsoft Excel validou que a variância da carteira é significativamente inferior à média simples das volatilidades individuais, comprovando o benefício estatístico da diversificação. A literatura reforça que este diferencial é o principal indicador de uma gestão financeira profissional e resiliente (Costa, 2024; Nakamura, 2000).

Complementarmente, a eficiência alocativa é ratificada pela aplicação do Índice de Sharpe (S), que quantifica o prêmio de retorno obtido para cada unidade de risco assumida. O cálculo utilizou o retorno esperado (Rp) de 10,28%, a taxa livre de risco (Rf) de 6,00% (CDI projetado) e a volatilidade calculada (σp) de 4,65%. O Índice de Sharpe resultante foi de 0,92, indicando uma excelente relação de custo-benefício para o perfil da corporação. Este resultado prova que a reorganização patrimonial de janeiro de 2025 não apenas reduziu a instabilidade, mas potencializou a eficiência do capital investido (Rotela Junior et al., 2014; Araújo & Montini, 2015).

Análise dos cenários de longo prazo (5 anos)

A projeção estatística de longo prazo constitui uma ferramenta indispensável para a sustentabilidade financeira da organização fabril, permitindo antecipar trajetórias patrimoniais sob diferentes condições de mercado. Ao projetar um horizonte de 60 meses, a gestão industrial substitui a incerteza imediata por uma visão estratégica baseada em probabilidades e fundamentos matemáticos. A literatura reforça que a eficiência alocativa deve ser validada não apenas por dados históricos, mas por sua capacidade de resiliência em cenários futuros simulados (Rotela Junior et al., 2014; Zanini & Figueiredo, 2005).

A fundamentação teórica para o cenário esperado utilizou a taxa de retorno anual de 10,28%, calculada no modelo de otimização de Markowitz. Neste contexto, o patrimônio líquido inicial de janeiro de 2025, estabelecido em R$ 2.027.450,57, evolui de forma consistente. A projeção para cinco anos, utilizando a fórmula de juros compostos, indicou um valor acumulado de R$ 3.306.812,42 no cenário esperado. Estudos indicam que a manutenção de uma carteira na fronteira de eficiência garante que o valor de utilidade do capital supere os índices de inflação em períodos de normalidade econômica (Leone et al., 2007; Costa, 2024).

No cenário adverso ou pessimista, a simulação contemplou uma contração de mercado onde a rentabilidade anual caiu para 4,65%, valor equivalente à própria volatilidade da carteira. Mesmo nesta hipótese, a diversificação industrial provou sua eficácia ao evitar a destruição de valor nominal (Nakamura, 2000; Araújo & Montini, 2015). O cálculo para o montante final no cenário pessimista, com o capital inicial de R$ 2.027.450,57, resultou em R$ 2.544.757,71 após cinco anos, demonstrando a segurança analítica da estrutura proposta.

A resiliência financeira manifesta-se pelo fato de que, mesmo sob estresse severo, o saldo final preserva o capital inicial com rendimento real positivo. Por outro lado, o cenário otimista simulou um ambiente de valorização acelerada dos ativos dinâmicos, como ETFs e FIIs, elevando a rentabilidade anual para 14,93%. Esta projeção maximiza o prêmio de risco e fornece o lastro necessário para projetos de expansão agressivos pela América Latina (Costa, 2024; Rotela Junior et al., 2014). O cálculo para o cenário otimista revelou um potencial de alavancagem patrimonial, com o capital inicial de R$ 2.027.450,57 atingindo R$ 4.065.531,29 em cinco anos.

A análise dos cenários conclui que a transição para um portfólio inteligente reduz o risco de cauda e estabiliza o fluxo de caixa industrial. A aplicação técnica das equações de Markowitz garantiu que a empresa não ficasse à mercê da volatilidade cega, mas sim protegida por uma estratégia de variância mínima. O sucesso desta modelagem nos próximos 60 meses será o diferencial competitivo para a sustentabilidade da indústria em Botucatu (Nakamura, 2000; Araújo & Montini, 2015).

Discussão sobre a fronteira de eficiência

A consolidação da nova arquitetura financeira da indústria de Botucatu permitiu que o capital remanescente de R$ 2.027.450,57 fosse posicionado exatamente sobre a curva da fronteira de eficiência. Este conceito, pilar da Teoria Moderna do Portfólio, define o conjunto de carteiras que oferecem o maior retorno esperado para cada nível de risco suportado. Ao migrar de uma posição de concentração passiva para uma estrutura diversificada, a empresa abandonou pontos de ineficiência alocativa e passou a operar em um patamar de racionalidade matemática (Rotela Junior et al., 2014; Zanini & Figueiredo, 2005).

O posicionamento técnico da carteira reflete o perfil moderado da organização, buscando o equilíbrio entre a preservação do principal e a captura de ganhos dinâmicos. A literatura acadêmica destaca que a fronteira eficiente não é estática, exigindo que a gestão industrial monitore as variações de correlação para que o portfólio não se desloque para zonas de risco excessivo ou retorno subótimo. A calibração realizada em janeiro de 2025 demonstrou que a descorrelação entre ativos internacionais e a renda fixa local foi o principal motor de estabilidade (Araújo & Montini, 2015; Nakamura, 2000).

A análise técnica comparativa evidenciou que a estrutura anterior possuía uma volatilidade implícita desproporcional ao retorno oferecido, situando-se abaixo da fronteira de eficiência. Com a nova alocação, a redução do desvio padrão global para 4,65% permitiu uma inclinação mais favorável na reta de mercado, otimizando o valor de utilidade do acionista. Estudos indicam que a eficiência de um portfólio corporativo deve ser medida pela sua capacidade de manter o poder de compra organizacional frente a choques sistêmicos (Leone et al., 2007; Costa, 2024).

A memória de cálculo para validar a distância entre a carteira atual e um ponto hipotético de ineficiência fundamentou-se no diferencial de retorno para a mesma volatilidade de 4,65%. A operação lógica demonstrou um ganho de eficiência (ΔE) de 2,78% ao ano, representando o prêmio pela gestão ativa e diversificada sobre o capital investido. A discussão acadêmica reforça que tal incremento não decorre de maior exposição ao risco, mas sim da aplicação cirúrgica de pesos em ativos com covariância negativa. A transição permitiu que a indústria alcançasse um nível de robustez financeira compatível com seus planos de internacionalização (Nakamura, 2000; Rotela Junior et al., 2014).

A eficiência alocativa também foi testada através do comportamento da carteira frente à taxa livre de risco. Ao situar-se na fronteira, o portfólio minimizou a variância residual, garantindo que o crescimento patrimonial fosse derivado de fundamentos econômicos e não de oscilações aleatórias. A segurança analítica proporcionada pelo modelo de Markowitz oferece à diretoria industrial a previsibilidade necessária para o planejamento de grandes aportes em infraestrutura (Zanini & Figueiredo, 2005; Araújo & Montini, 2015).

A discussão sobre a utilidade do risco revela que, para a indústria em Botucatu, a fronteira de eficiência atua como um escudo contra a desvalorização cambial e a inflação galopante. Ao incluir ETFs dos EUA, a empresa garantiu que parte de seu capital de giro fosse protegido por uma moeda forte, deslocando a fronteira de eficiência para um patamar global. A integração de diferentes geografias e setores industriais é o que consolida a resiliência do portfólio (Costa, 2024; Leone et al., 2007).

O cálculo do coeficiente de inclinação da fronteira, conhecido como Relação de Eficiência, validou a escolha dos ativos. A inclinação de 0,92 justificou a manutenção da carteira no ponto moderado selecionado. A convergência entre a teoria e a prática foi absoluta no fechamento do primeiro mês de operação. O rendimento líquido observado em janeiro de 2025 confirmou a aderência da carteira à curva de eficiência projetada, validando o uso do Microsoft Excel como motor de otimização confiável para médias empresas (Rotela Junior et al., 2014; Zanini & Figueiredo, 2005).

A manutenção desta posição exige um protocolo de rebalanceamento trimestral. Caso um ativo apresente valorização excessiva, ele pode deslocar a carteira para fora da fronteira, aumentando a volatilidade sem um retorno proporcional. A inteligência financeira aplicada recomenda que o gestor realize lucros e redistribua o capital para as classes que mantêm a covariância estável. Esta dinâmica é o que garante a evolução patrimonial sustentável descrita nos cenários de longo prazo (Costa, 2024; Araújo & Montini, 2015).

Confrontando esse resultado com a literatura, Rotela Junior et al. (2014) alertam que a fronteira de eficiência calculada sobre uma janela histórica curta tende a superestimar a estabilidade das correlações, um ponto de atenção direto para o presente estudo, que se apoiou em 36 meses de dados. Nesse sentido, a resiliência demonstrada pela carteira de janeiro de 2025 deve ser lida como uma fotografia válida para o regime de mercado observado, e não como uma garantia permanente. Zanini e Figueiredo (2005) já haviam demonstrado que carteiras otimizadas por Markowitz perdem parte de sua vantagem estatística quando a matriz de covariância é recalculada em janelas subsequentes, o que reforça a necessidade do rebalanceamento trimestral.

Para a diretoria da indústria de Botucatu, a implicação estratégica é dupla: de um lado, a alocação em cinco classes descorrelacionadas reduz a dependência de uma previsão precisa de qualquer ativo isolado, aproximando-se do que Araújo e Montini (2015) descrevem como gestão de risco orientada à utilidade e não à maximização pontual de retorno. De outro, a governança financeira precisa institucionalizar a revisão periódica das correlações como rotina de controle interno, e não como iniciativa discricionária, sob pena de a carteira se afastar silenciosamente da fronteira eficiente à medida que os regimes de juros e câmbio se alteram.

Impacto na gestão do capital de giro

A transição para um portfólio fundamentado na Teoria de Markowitz alterou profundamente a dinâmica de liquidez da indústria fabril. Anteriormente, a gestão passiva mantinha o capital de giro em aplicações de baixa eficiência, resultando em um custo de oportunidade elevado que comprometia a agilidade operacional. Com a nova estruturação, a inteligência financeira aplicada permite que a corporação mantenha o fluxo de caixa otimizado, garantindo que os recursos não fiquem ociosos, mas sim protegidos contra a desvalorização real (Araújo & Montini, 2015; Costa, 2024).

A parcela de liquidez imediata, integrada à posição de Renda Fixa Pós-Fixada/Caixa (25% do portfólio, R$ 494.132,52), revelou-se estratégica para o setor industrial, permitindo o cumprimento de obrigações de curto prazo sem a necessidade de liquidar ativos dinâmicos em momentos de baixa. Essa característica de liquidez, equivalente a cerca de 5% do patrimônio total, atua como um amortecedor operacional, enquanto o restante do patrimônio captura prêmios de risco superiores. A literatura demonstra que a alocação eficiente de ativos é fundamental para empresas que operam com ciclos de produção longos e dependem de estabilidade financeira (Rotela Junior et al., 2014; Zanini & Figueiredo, 2005).

A análise técnica do impacto financeiro revelou que a redução da volatilidade global para 4,65% aumentou a previsibilidade das disponibilidades líquidas. Para a unidade em Botucatu, a gestão industrial passou a contar com um capital mais resiliente às variações súbitas da taxa SELIC, uma vez que a diversificação diluiu o risco de mercado. Estudos indicam que o uso de modelos quantitativos para o capital de giro corporativo reduz a necessidade de tomadas de crédito externo, fortalecendo a estrutura de capital da organização (Leone et al., 2007; Nakamura, 2000).

A memória de cálculo para a apuração da Rentabilidade Real do Giro (RRgiro), descontando a inflação projetada de 4,5% ao ano sobre o retorno esperado de 10,28%, fundamenta a percepção de ganho patrimonial real. O resultado foi um ganho real de 5,53% ao ano. Este ganho assegura que o capital de giro da indústria não apenas mantenha seu valor de troca, mas também se capitalize para suportar novos maquinários e expansões na América Latina. A diversificação industrial permitiu que a organização transformasse o “caixa morto” em um ativo gerador de utilidade econômica, tornando a eficiência alocativa uma vantagem competitiva direta (Costa, 2024; Rotela Junior et al., 2014).

A discussão sobre a utilidade do capital revela que a satisfação da gestão com o fluxo de caixa otimizado supera o risco percebido de exposição moderada à renda variável. Ao entender que a covariância negativa protege o patrimônio, a diretoria industrial adquiriu maior segurança para a tomada de decisão sobre investimentos em CAPEX. A segurança analítica oferecida pelo Índice de Sharpe de 0,92 valida a resiliência do capital de giro frente às intempéries do mercado brasileiro (Leone et al., 2007; Araújo & Montini, 2015).

A memória de cálculo do Valor em Risco (VaR) do capital de giro, considerando um intervalo de confiança de 95% para a volatilidade de 4,65%, demonstrou a perda máxima provável em um cenário de estresse anual para o patrimônio de R$ 2.027.450,57. O VaR calculado foi de R$ 155.084,76. A identificação dessa perda máxima provável oferece à gerência fabril uma métrica clara de exposição, substituindo o receio subjetivo pelo controle técnico e permitindo que a empresa opere com maior arrojo tático. A mitigação deste risco através da descorrelação de ativos permite à tesouraria sustentar as operações em Botucatu com tranquilidade financeira (Nakamura, 2000; Zanini & Figueiredo, 2005).

A inclusão de ativos reais, como os Fundos Imobiliários (FIIs), no giro industrial proporciona um fluxo de dividendos mensais que auxilia no pagamento de despesas administrativas recorrentes. Ao contrário dos fundos DI, que apenas capitalizam o principal, o modelo dinâmico injeta liquidez corrente na tesouraria sem a necessidade de resgates parciais de cotas. Esta mecânica melhora os índices de liquidez corrente e imediata no balanço patrimonial da companhia, elevando sua classificação de crédito frente aos fornecedores e parceiros (Zanini & Figueiredo, 2005; Costa, 2024).

Sob a perspectiva gerencial, essa mudança altera a própria função do departamento financeiro dentro da organização. Leone et al. (2007) argumentam que a mensuração de risco baseada em utilidade só se torna operacionalmente relevante quando incorporada ao processo decisório corrente. Para a indústria de Botucatu, isso significa que o Índice de Sharpe e a volatilidade calculada passam a ser insumos de decisões concretas, como o momento de novos aportes em CAPEX ou a velocidade de expansão para novos mercados latino-americanos, e não apenas indicadores de prestação de contas. A redução da dependência de poucos emissores bancários também mitiga o risco de concentração de contraparte, que Nakamura (2000) associa a perdas abruptas de liquidez em cenários de estresse do sistema bancário doméstico.

Comparação entre dezembro de 2024 e janeiro de 2025

A análise comparativa entre os dois períodos revelou a transição de um modelo de gestão estática para uma arquitetura de otimização dinâmica. Em dezembro de 2024, a carteira apresentava um valor líquido consolidado de R$ 3.165.862,92, caracterizando-se por uma alocação 100% dependente de títulos de renda fixa bancária. Já em janeiro de 2025, após resgates operacionais e o rebalanceamento via Teoria de Markowitz, o valor líquido ajustou-se para R$ 2.027.450,57, distribuído em cinco classes de ativos distintas para otimizar a relação utilidade-risco (Costa, 2024; Nakamura, 2000).

A estrutura anterior sofria de uma ineficiência alocativa grave, pois a concentração em poucos emissores elevava o risco de crédito sem o correspondente prêmio de retorno alavancado. Em contrapartida, a configuração de janeiro de 2025 introduziu a diversificação sistemática, reduzindo a exposição a um único indexador. A literatura financeira enfatiza que a redução do patrimônio bruto via resgates estratégicos não implica perda de eficiência se o capital remanescente for alocado na fronteira de eficiência alavancada por ativos descorrelacionados (Rotela Junior et al., 2014; Zanini & Figueiredo, 2005).

A análise técnica do rendimento bruto demonstra que, embora o valor nominal tenha recuado de R$ 84.868,06 em dezembro de 2024 para R$ 50.920,51 em janeiro de 2025 devido à redução do principal, a qualidade estatística do retorno evoluiu. A eficiência percentual sobre o valor principal em cada ciclo ratifica a melhora na performance relativa da tesouraria industrial. Em dezembro de 2024, a eficiência percentual foi de 2,74%, enquanto em janeiro de 2025, foi de 2,58%. Embora houvesse uma leve retração na taxa mensal, a carteira de janeiro passou a contar com uma métrica de risco mensurável e diversificada, com 4,65% de volatilidade, algo que a carteira concentrada de dezembro não possuía. A discussão acadêmica aponta que a mensuração de risco baseada na utilidade valoriza a estabilidade do capital de giro acima da rentabilidade bruta linear (Leone et al., 2007; Araújo & Montini, 2015).

A comparação do Imposto de Renda (IR) incidente revelou uma otimização tributária indireta. Em dezembro de 2024, a carga tributária foi de R$ 13.623,09, enquanto em janeiro de 2025, a incidência caiu para R$ 3.936,17, reflexo da inclusão de ativos com isenção ou diferimento fiscal, como os dividendos de fundos imobiliários. A carga tributária relativa sobre o rendimento bruto demonstrou essa redução de peso fiscal, passando de 16,05% em dezembro de 2024 para 7,73% em janeiro de 2025. Esta redução drástica na carga tributária relativa é um benefício direto da aplicação das fronteiras de eficiência que contemplam ativos reais, representando oxigênio adicional para o fluxo de caixa mensal da indústria em Botucatu (Costa, 2024; Rotela Junior et al., 2014).

A discussão sobre o saldo remanescente demonstra que o capital está mais “blindado” do que o montante maior de dezembro. Ao fragmentar o risco, a empresa industrial protegeu-se contra a volatilidade do setor bancário, utilizando a covariância para estabilizar a evolução patrimonial. A transição encerrou o ciclo de dependência passiva e inaugurou uma fase de segurança analítica baseada em dados estatísticos rigorosos (Leone et al., 2007; Zanini & Figueiredo, 2005). A redução do valor líquido de R$ 3,16 milhões para R$ 2,02 milhões foi compensada pelo aumento do Índice de Sharpe, que saltou de um patamar negligenciável para 0,92. Esse indicador prova que, em janeiro, a empresa passou a receber um prêmio de risco muito superior por cada unidade de volatilidade suportada. O fenômeno observado valida a tese de que menos capital bem gerido é superior a mais capital exposto à ineficiência alocativa (Nakamura, 2000; Araújo & Montini, 2015).

A comparação entre os dois meses encerra o diagnóstico de campo e confirma que a intervenção quantitativa atingiu seu propósito. A indústria de Botucatu possui agora um mapa claro de rentabilidade tributária e operacional, com um portfólio que suporta a expansão planejada pela diretoria. A maturidade financeira alcançada em janeiro de 2025 serve como o alicerce para as projeções de longo prazo descritas nos cenários simulados (Costa, 2024; Rotela Junior et al., 2014).

Análise quantitativa da covariância

A análise da covariância constitui o mecanismo central da Teoria Moderna do Portfólio, permitindo que a indústria em Botucatu compreenda como a interação entre ativos reduz o risco total. Diferente da análise isolada de volatilidade, a covariância mensura a tendência de dois ativos se moverem em conjunto ou em direções opostas. Para o gestor industrial, a aplicação deste conceito é o que viabiliza o “almoço grátis” da diversificação, onde o risco sistêmico é mitigado sem a necessidade de reduzir a expectativa de retorno global (Costa, 2024; Nakamura, 2000).

O rigor estatístico na determinação das correlações permite que a empresa identifique ativos que servem como “hedge” natural para o capital de giro. Ao selecionar classes de ativos com covariâncias baixas ou negativas, como ETFs de mercados internacionais e renda fixa indexada à inflação local, a tesouraria corporativa blinda o patrimônio contra choques domésticos. A literatura reforça que a eficiência alocativa em mercados emergentes depende crucialmente da revisão periódica desta matriz de interdependência (Araújo & Montini, 2015; Rotela Junior et al., 2014).

A memória de cálculo para a obtenção da covariância entre dois ativos hipotéticos da carteira, com fins ilustrativos, fundamentou a estruturação de janeiro de 2025. Utilizou-se uma série histórica de 36 meses para garantir a robustez dos dados amostrais. Um exemplo de covariância de 0,0008, classificada como positiva baixa, indica que, embora os ativos tenham uma leve tendência de seguir o ciclo econômico de juros, a magnitude de suas variações é distinta. Esse resultado é vital para a preservação do valor de utilidade do acionista, pois garante que uma queda brusca em um setor não arraste o portfólio inteiro para a zona de insolvência. O modelo de Markowitz utiliza esses dados para calibrar os pesos ideais na fronteira de eficiência (Leone et al., 2007; Zanini & Figueiredo, 2005).

A análise estende-se para o cálculo da correlação, que normaliza a covariância em uma escala de -1 a +1, facilitando a interpretação gerencial. A correlação entre Renda Fixa IPCA+ e Fundos Imobiliários foi de 0,18, classificada como fraca. Para a indústria fabril, isso significa segurança operacional: enquanto a renda fixa protege o principal contra a inflação, os FIIs provêm rendimentos isentos com dinâmica imobiliária independente. Estudos indicam que portfólios com correlações abaixo de 0,50 são significativamente mais resilientes (Costa, 2024; Rotela Junior et al., 2014).

A discussão técnica sobre a matriz de covariância revela que a parcela de ETFs internacionais apresenta correlação negativa próxima de -0,15 em relação ao mercado brasileiro em momentos de crise cambial. Esse fenômeno é o que estabiliza o patrimônio líquido de R$ 2.027.450,57, permitindo que a empresa suporte volatilidades do mercado doméstico sem comprometer seu capital de expansão. A gestão quantitativa substitui o “feeling” pela precisão do desvio padrão conjunto (Nakamura, 2000; Araújo & Montini, 2015).

A memória de cálculo para o impacto da covariância no risco total da carteira demonstrou como o termo multiplicativo reduz a variância final. Considerando dois ativos com pesos de 50%, a variância da carteira foi calculada como 0,0024, resultando em um desvio padrão de 4,89%. Sem a consideração da covariância, o risco percebido seria a média simples dos desvios, o que levaria a uma tomada de decisão errônea e excessivamente conservadora. O modelo quantitativo prova que a diversificação reduz o risco de forma geométrica e não apenas aritmética. Para a diretoria industrial, essa compreensão é a chave para alocar recursos em projetos de longo prazo com a tranquilidade da proteção estatística (Leone et al., 2007; Zanini & Figueiredo, 2005).

A análise da covariância encerra a demonstração de que o portfólio de janeiro de 2025 é tecnicamente superior a qualquer alocação concentrada. A evolução patrimonial projetada nos cenários anteriores só é possível porque a fundação do portfólio está ancorada em ativos que “se ajudam” estatisticamente. A unidade industrial de Botucatu possui agora um motor financeiro calibrado para a eficiência plena, minimizando perdas através da inteligência de dados (Costa, 2024; Araújo & Montini, 2015).

Validação dos indicadores de performance

A validação final do portfólio industrial fundamenta-se na convergência entre a modelagem matemática e a entrega de resultados resilientes no curto prazo. Para a indústria em Botucatu, os indicadores de performance não são meras abstrações estatísticas, mas métricas de solvência e utilidade econômica. A literatura destaca que a eficácia de uma carteira corporativa deve ser atestada pela sua capacidade de gerar prêmio sobre a taxa livre de risco, mantendo a volatilidade dentro dos limites de tolerância do gestor (Araújo & Montini, 2015; Nakamura, 2000).

O retorno anual esperado de 10,28% consolida-se como um indicador de performance superior, especialmente quando comparado à ineficiência da alocação concentrada de 2024. Ao estruturar a carteira na fronteira de eficiência, a organização garantiu uma taxa de crescimento mensal de 0,819%, superando o custo de oportunidade do capital de giro. Estudos apontam que a manutenção desse diferencial é o que permite o autofinanciamento de projetos de expansão tecnológica em mercados emergentes (Costa, 2024; Rotela Junior et al., 2014).

A memória de cálculo para a apuração da Rentabilidade Bruta Acumulada em janeiro de 2025, baseada no rendimento observado de R$ 50.920,51 sobre o patrimônio inicial de R$ 1.976.530,06, validou a aderência ao modelo estatístico, resultando em 2,576% no mês. Embora o retorno observado no primeiro mês (2,576%) tenha sido pontualmente superior à média projetada (0,819%), essa variação decorre da valorização cíclica de ativos de risco. Contudo, o monitoramento da volatilidade fixada em 4,65% assegura que esses picos de rentabilidade não mascarem a exposição sistêmica. A gestão de utilidade recomenda que o excesso de retorno seja tratado como reserva de segurança para meses de contração econômica (Leone et al., 2007; Zanini & Figueiredo, 2005).

A memória de cálculo do Índice de Sharpe serve como o validador definitivo da eficiência alocativa, comparando o retorno excedente com a volatilidade suportada. Utilizando o retorno esperado de 10,28%, a taxa livre de risco de 6,00% e o desvio padrão de 4,65%, o Índice de Sharpe foi de 0,92. Um índice de 0,92 é classificado tecnicamente como excelente para o perfil industrial moderado, indicando que para cada 1% de risco assumido, o portfólio entrega 0,92% de retorno acima da renda fixa pura. Essa métrica é crucial para o convencimento do conselho administrativo sobre a superioridade da Teoria de Markowitz frente à gestão bancária tradicional. A segurança analítica derivada deste número mitiga receios subjetivos sobre a exposição à renda variável (Nakamura, 2000; Araújo & Montini, 2015).

A análise quantitativa do saldo líquido de R$ 2.027.450,57 em 31 de janeiro de 2025 confirmou que a empresa recuperou o fôlego financeiro após os resgates de R$ 1,15 milhão. A nova configuração patrimonial está blindada contra a inflação e desvalorização cambial, graças à fatia de IPCA+ e ETFs internacionais. A literatura reforça que a proteção do valor real do capital é o indicador de performance mais relevante para indústrias com planos de expansão na América Latina (Leone et al., 2007; Costa, 2024).

A memória de cálculo para a Projeção de Margem de Segurança (MS) contra o Cenário Pessimista (R$ 2.544.757,71) demonstrou a robustez da estratégia para os próximos cinco anos frente ao capital atual. A margem de segurança calculada foi de R$ 517.307,14. A identificação de uma margem de segurança de quase meio milhão de reais, mesmo no pior cenário simulado, oferece à tesouraria fabril a tranquilidade necessária para manter o fluxo operacional. A validação desses indicadores encerra o ciclo de incertezas que pairava sobre a gestão passiva de 2024. A unidade industrial de Botucatu possui agora um sistema de governança financeira ancorado em evidências matemáticas e estatísticas (Rotela Junior et al., 2014; Zanini & Figueiredo, 2005).

É importante situar esse resultado com a devida cautela metodológica. Um Índice de Sharpe de 0,92 é tecnicamente sólido para um perfil moderado, mas Costa (2024) pondera que índices calculados sobre um único ciclo de dados amostrais tendem a ser instáveis, podendo oscilar de forma expressiva conforme novas observações mensais sejam incorporadas à série histórica. A implicação gerencial não é diminuir o mérito da reestruturação, mas sim recomendar que a diretoria trate o índice atual como uma linha de base a ser monitorada trimestralmente, e não como um número definitivo. Estrategicamente, isso aproxima a prática da tesouraria industrial de Botucatu do que Araújo e Montini (2015) chamam de gestão de risco dinâmica: a decisão de expansão para a América Latina não deveria depender apenas do retorno esperado estático de 10,28% ao ano, mas de gatilhos de revisão vinculados a quedas do Índice de Sharpe abaixo de um patamar mínimo pré-definido pelo conselho administrativo, transformando a métrica de validação em instrumento ativo de governança, e não apenas em evidência retrospectiva de sucesso.

Em síntese, a pesquisa demonstrou que a aplicação da Teoria de Markowitz permitiu otimizar a carteira de investimentos da empresa industrial de Botucatu, transformando um capital de giro ineficiente em uma ferramenta estratégica. A nova estrutura de alocação, com volatilidade global reduzida para 4,65% e retorno anual de 10,28%, superou o desempenho do modelo concentrado original, validado por um Índice de Sharpe de 0,92. As simulações de longo prazo confirmaram a resiliência patrimonial e a capacidade de suportar planos de expansão, evidenciando que o rigor estatístico protege o valor e mitiga riscos sistêmicos, respondendo diretamente ao objetivo de garantir retorno real e resiliência financeira para os próximos cinco anos.

4. Conclusão

O presente estudo buscou propor e validar uma nova estrutura de alocação de capital para uma empresa industrial, baseada na Teoria de Markowitz, visando otimizar a relação risco-retorno para um perfil moderado. Verificou-se que a alocação inicial de R$ 3,16 milhões em títulos de renda fixa passiva, em dezembro de 2024, apresentava ineficiência e vulnerabilidade. Após resgates estratégicos, o capital remanescente de R$ 2.027.450,57 foi reestruturado em janeiro de 2025, distribuído em cinco categorias de investimentos, incluindo fundos imobiliários e papéis indexados à inflação. Essa nova arquitetura resultou em uma volatilidade global de 4,65% e um retorno anual de 10,28%, superando o desempenho do modelo concentrado original. O Índice de Sharpe de 0,92 ratificou a melhora técnica da alocação, posicionando a carteira na fronteira de eficiência. As simulações para sessenta meses indicaram uma margem de segurança robusta e a capacidade do patrimônio acumulado para suportar planos de expansão na América Latina. A principal contribuição reside na transformação do capital de giro em uma ferramenta estratégica, protegendo o valor e mitigando riscos sistêmicos por meio do rigor estatístico e da diversificação inteligente.

Contudo, a principal limitação deste estudo reside na brevidade do horizonte de validação prática, restrito ao primeiro ciclo mensal após a implementação da nova estrutura, o que pode superestimar a estabilidade das correlações. Observou-se que mudanças estruturais na economia global podem exigir recalibragens mais frequentes dos pesos alocativos, e o modelo pressupõe a manutenção de um perfil de utilidade moderado, que pode ser alterado por novas diretrizes. Para estudos futuros, sugere-se expandir a análise para modelos de otimização baseados em downside risk, como o CVaR, visando capturar riscos de cauda em momentos de crise extrema. Recomenda-se também investigar o impacto de ativos alternativos, como o mercado de crédito privado desintermediado e criptoativos institucionais, na fronteira de eficiência fabril. A inclusão de ferramentas de inteligência artificial para o rebalanceamento dinâmico e em tempo real das posições pode representar o próximo passo na evolução da tesouraria corporativa, além da institucionalização da revisão periódica das correlações como rotina de controle interno.

Referências Bibliográficas

Araújo, A. C. de, & Montini, A. de Á. (2015). Análise de métricas de risco na otimização de portfolios de ações. Revista de Administração (São Paulo), 50(2), 208-228. https://doi.org/10.5700/rausp1195

Costa, A. M. (2024). Análise de investimentos pelo modelo de Markowitz: uma breve revisão da literatura e sua aplicação didática em Excel. Revista Iniciativa Econômica, 10(1).

Leone, R., Nascimento, R. Q. do, Leone, G. G., & Oliveira, P. (2007). Proposta de mensuração de risco baseado em utilidade. Revista Contabilidade & Finanças, 18(44), 23-32.

Nakamura, W. T. (2000). Estudo empírico sobre a eficiência da carteira teórica do Índice Bovespa. Revista de Administração Mackenzie, 1(1), 67-81.

Rotela Junior, P., Pamplona, E. de O., & Salomon, F. L. R. (2014). Otimização de portfólios: análise de eficiência. RAE-Revista de Administração de Empresas, 54(4), 405-413. https://doi.org/10.1590/S0034-759020140406

Zanini, F. A. M., & Figueiredo, A. C. (2005). As teorias de carteira de Markowitz e de Sharpe: uma aplicação no mercado brasileiro de ações entre julho/95 e junho/2000. Revista de Administração Mackenzie, 6(2), 37-64.).

Artigo oriundo de Trabalho de Conclusão de Curso da Especialização em Finanças e Controladoria do MBA USP/Esalq

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